Exercice corrigé Ancien programme

théorèmes du cours

1. Soit

a. Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que :

et sont premiers entre eux.

2. Démontrer que pour tout la fraction est irréductible.

On démontre que et sont premiers entre eux en procédant comme au 1.

1. a. , donc et , donc u et v conviennent.

b. Pour tout, et sont des entiers naturels, et il existe tel que.

D'après le théorème de Bézout (2), on en déduit que et sont premiers entre eux.

2. Pour tout , et ,

car est équivalent à et .

De plus, pour tout ,.

Ainsi, il existe , et tels que .

D'après le théorème de Bézout, on en déduit que, pour tout , et sont premiers entre eux, avec.

Donc, pour tout , la fraction est irréductible.

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