Exercice corrigé Ancien programme

Valeurs intermédiaires

Dans les deux cas suivants :

a. calculer et  

b. justifier l'existence d'au moins une solution à l'équation  

c. déterminer à l'aide d'une calculatrice graphique le nombre de solutions de dans  

d. déterminer, par le calcul, ces solutions.

1. . 2. .

b. Ne pas oublier de préciser la continuité des fonctions et utiliser le premier théorème des valeurs intermédiaires.

c. Les solutions de sont les abscisses des points d'intersection de et de la droite d'équation .

d. Pour la seconde fonction, on pourra factoriser pour trouver la solution.

Valeurs intermédiaires

1. a. Avec , on a :

et .

b. f est continue sur comme fonction rationnelle avec .

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet au moins une solution dans .

c. Graphiquement, la représentation graphique de f ne coupe qu'une seule fois la droite d'équation . L'équation admet une unique solution dans

d. .

La solution de l'équation est 0,25.

2. a. Avec , on a :

et .

b. f est continue sur comme fonction polynôme avec .

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet au moins une solution dans .

c. Graphiquement, la représentation graphique de f coupe trois fois la droite d'équation . L'équation admet trois solutions dans .

d. 

.

Les solutions de l'équation sont 0, et .

Le premier théorème des valeurs intermédiaires qui n'utilise que la continuité permet de prouver l'existence d'au moins une solution, mais il ne permet pas de connaître le nombre de solutions.

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