Exercice corrigé Ancien programme

vecteurs colonnes vérifiant

Partie A.

Soit

1. Vérifier que avec

2. Démontrer par récurrence que, pour tout

Voir le chapitre 5.

3. Vérifier que, pour tout

Partie B.

On considère la suite de vecteurs colonnes définie par récurrence par : 

et, pour tout

Pour tout on pose

1. Calculer

2. Déterminer le vecteur colonne pour lequel

3. On pose, pour tout

a. Calculer

b. Démontrer par récurrence que, pour tout

c. Exprimer en fonction de n, pour

d. Déterminer

Partie A

1. donc P est inversible et

Donc

2. d'après la question 1.a.

Supposons qu'il existe un entier non nul p tel que et montrons qu'alors

Donc

Donc, pour tout

3.Pour tout

Partie B

1.

Soit :

2.

Donc

3. a. et

b.

Supposons qu'il existe un entier non nul p tel que et montrons qu'alors

d'après 2.

Or

Donc, pour tout

c. Soit

d. donc

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