Exercice corrigé Ancien programme

Version simplifiée

Cet exercice propose de justifier la majoration permettant d'utiliser une version simplifiée de l'intervalle de fluctuation.

1. Étudier la fonction f définie par sur .

2. Montrer que sur , .

3. En déduire que et conclure.

Version SIMplifiée

1. Pour tout x dans , , donc . On a positif sur et négatif sur . Par conséquent, f est croissante sur et décroissante sur .

2. f admet un maximum en 0,5 et . Donc, en accord avec les variations trouvées dans la question 1, lorsque x est dans , on a .

D'où .

3. On remarque tout d'abord que .

On a donc , ce qui donne la majoration

.

C'est pourquoi on peut simplifier ces écritures avec , ce qui donne un intervalle plus large que les valeurs se trouvant dans l'encadrement précédent, et donc moins précis. Le mérite de cette approximation est de disposer d'une expression beaucoup plus simple à manipuler et à retenir.

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