Vote et loi binomiale

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Exercices
Classe(s) : 1re ES - 1re L | Thème(s) : Probabilités et échantillonnage


Cinq amis dénommés A, B, C, D, et E achètent en commun une photocopieuse. Pour des raisons de surface disponible, cette photocopieuse ne peut être entreposée que chez A ou chez B. On procède à un vote à bulletin secret pour savoir chez lequel, de A ou de B, elle sera entreposée. Chacun des cinq amis émet un choix et un seul sur l’une des deux personnes A ou B. Ces choix sont supposés équiprobables.

Par exemple, le résultat d’un vote noté signifie que : A a voté pour A, B a voté pour B, C a voté pour B, D a voté pour A et E a voté pour A.

Tous les résultats seront donnés sous forme d’entiers ou de fractions irréductibles.

1. Quel nombre de résultats différents peut-on prévoir ?

S’il y a deux amis, 4 votes sont possibles, avec 3 amis, 8 votes sont possibles, etc.

2. On considère la loi de probabilité qui, à chaque vote, fait correspondre le nombre de voix obtenues par A. On note la probabilité que A obtienne k voix.

a. Calculer et .

b. Montrer que et que .

c. Compléter le tableau ci-dessous.

Nombre de voix pour A

0

1

2

3

4

5

Probabilité

 

       

d. Soit p1 la probabilité que la photocopieuse soit entreposée chez A.

Vérifier que .

a. Il n’y a qu’une seule manière que A n’obtienne aucune voix. De même, pour que A obtienne toutes les voix.

b. À tout résultat comportant une seule voix pour A, on peut faire correspondre un résultat comportant quatre voix pour A, et réciproquement, en changeant les votes de chacun par son contraire.

d. Les cas où la photocopieuse est entreposée chez A sont ceux où le nombre de votes pour A est supérieur au nombre de votes pour B.

3. À chaque début d’année, on effectue un vote, dans les mêmes conditions. On suppose que les votes sont des événements indépendants.

a. Représenter, à l’aide d’un arbre, les résultats possibles de trois votes successifs.

b. Déterminer la probabilité p2 que A soit choisi pendant trois années
consécutives.

4. C a libéré de la place dans son logement et peut maintenant lui aussi entreposer la photocopieuse. Le vote se déroule toujours de la même façon.

Quelle est la probabilité p3 pour que C soit choisi avec exactement quatre voix ?

Définir d’abord un nouveau schéma de Bernoulli.