Exercice corrigé Ancien programme

vrai ou faux

1. La suite définie par et pour tout est convergente.

Raisonner par l'absurde et utiliser le savoir-faire 4.

2. Soit la suite définie, pour tout par Alors, pour tout

3. Soit la suite définie par, et pour tout avec Alors la suite est décroissante et converge vers 0.

4. On suppose que est croissante, que et que pour tout Alors la suite converge.

1. Faux. est une suite pour laquelle n il existe une fonction f telle que avec , f étant une fonction continue sur Donc si converge, alors sa limite et vérifie  soit Or, pour ce trinôme du second degré cette équation n'admet aucune solution dans Donc (un) ne converge pas.

2. Vrai. Pour tout

En effet 1 + 2 + … + 2n −1 est la somme des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme v0 = 1 et de raison q = 2 ≠ 1.

Donc

3. Faux. Si , alors la suite est croissante (et converge vers 0).

Ceci se démontre par récurrence sur en appelant p(n) la propriété
« un +1 > un ». S'agissant d'un vrai ou faux, il suffit ici d'exhiber un contre-
exemple : si u0 = -1 et q = 0,5, alors u1 = - 0,5 > u0.

4. Vrai. La suite étant convergente, elle est majorée. Soit M un majorant de Alors, comme pour tout M est également un majorant de la suite La suite est croissante et majorée, donc elle converge (d'après le théorème III. 2.).

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