Fonctions logarithme népérien et exponentielle

Pourquoi réviser les fonctions logarithme népérien et exponentielle ?

Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des piliers du programme de Maths complémentaires en Terminale générale. Ces notions ne se contentent pas d'être théoriques ; elles sont utilisées pour modéliser des phénomènes réels dans des domaines variés comme la physique, l'économie, et la biologie. En révisant ce chapitre, tu acquiers des compétences non seulement pour réussir le baccalauréat, mais aussi pour envisager des études supérieures dans des filières comme les sciences économiques, la gestion, ou les sciences appliquées.

Les notions de base de la fonction exponentielle, que tu as rencontrées en Première, servent de socle pour l’introduction de la fonction logarithme népérien en Terminale. Ensemble, ces fonctions permettent de résoudre des équations complexes, d'étudier des phénomènes de croissance et de décroissance, et de simplifier des expressions mathématiques.

La fonction logarithme népérien, une fonction essentielle en Tle

La fonction logarithme népérien, notée ln(x), est l'inverse de la fonction exponentielle e^x. Elle permet de convertir des multiplications en additions, une propriété extrêmement utile dans le calcul de phénomènes complexes. Par exemple, au lieu de multiplier des nombres très grands, tu peux additionner leurs logarithmes.

Voici les principales propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien :

• Propriété additive : ln⁡(a×b)=ln⁡(a)+ln⁡(b)\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)ln(a×b)=ln(a)+ln(b) 
  Cette propriété permet de transformer une multiplication en addition.
• Propriété soustractive : ln⁡(ab)=ln⁡(a)−ln⁡(b)\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)ln(ba​)=ln(a)−ln(b) 
  Une division devient une soustraction de logarithmes.
• Propriété de la puissance : ln⁡(ab)=b⋅ln⁡(a)\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)ln(ab)=b⋅ln(a) 
  La mise en puissance devient une multiplication par le logarithme.

Ces propriétés sont incontournables pour résoudre des exercices de simplification d'expressions. Elles t’aideront à mieux comprendre des sujets d'examen où ces manipulations sont très fréquentes.

Au-delà de ces propriétés, la fonction logarithme népérien a des liens étroits avec la dérivation et l’intégration, deux notions clés en terminale. Par exemple, la dérivée de ln⁡(x)\ln(x)ln(x) est 1x\frac{1}{x}x1​, une propriété essentielle pour résoudre des problèmes liés à la croissance et à la décroissance dans des contextes concrets.

Exemple concret :

Imaginons que tu doives résoudre l'expression suivante : 
ln(2) + ln(5)
Grâce à la propriété additive, tu peux la simplifier en : 
ln(2 × 5) = ln(10) 
Ainsi, en appliquant simplement la règle, tu as simplifié l’expression !

Les liens entre le logarithme népérien et les autres notions de Maths complémentaire

Outre ses propriétés algébriques, la fonction logarithme népérien est également liée à d’autres notions fondamentales du programme de Terminale, telles que la dérivation et l'intégration. 

• Dérivée de ln(x) : La dérivée de ln(x) est 1/x. Cette règle est cruciale pour résoudre des problèmes de croissance et de décroissance dans des situations pratiques. 
• Intégration : L'intégrale de 1/x donne ln(x). Ces concepts sont essentiels pour aborder des exercices de calcul intégral en terminale.

Les fiches de révision Annabac :, un outil indispensable pour ta préparation

Les fiches de révision en ligne proposées par Annabac sont une ressource clé pour bien réviser ce chapitre. Elles sont conçues pour t’aider à maîtriser les fonctions logarithme népérien et exponentielle à ton rythme. Ces fiches comprennent :

Des fiches de révision détaillées sur la fonction exponentielle

Ces fiches te rappellent les définitions essentielles des fonctions logarithme népérien et exponentielle, et expliquent leurs propriétés algébriques et analytiques. Elles t’offrent aussi des méthodes claires pour résoudre des équations et des inéquations complexes.

Exemples pratiques et exercices corrigés

Chaque fiche comprend un exercice typique suivi d’une correction détaillée. Ces exercices t’aideront à appliquer les propriétés des fonctions logarithmes dans des contextes concrets (modélisation, calculs de dérivées, intégrales, etc.).

Par exemple, tu pourras travailler sur des exercices du type : Étudier la fonction f définie sur ℝ par : f(x)=e−x2.

L'exercice te guidera à travers les étapes de la solution, et la correction te montrera les erreurs à éviter.

Des exemples de sujets qui pourraient tomber au Bac

En révisant bien les fonctions logarithme népérien et exponentielle, tu seras prêt à aborder des sujets qui peuvent tomber lors de ton examen. Voici quelques exemples de types de questions que tu pourrais rencontrer :

• Sujets de type "résolution d’équation" : Résoudre une équation comme ln(x + 2) - ln(x - 1) = 2.
• Problèmes de modélisation : Par exemple, un problème sur la croissance exponentielle où tu devras utiliser les logarithmes pour résoudre une équation du type y = A × e^(kt).
• Calcul de dérivées : Trouver la dérivée de f(x) = ln(3x + 5) et l'utiliser pour déterminer le taux de croissance d’une fonction dans un contexte donné.